Рух космічних тіл спостерігалося людиною дуже давно. Ще в Древній Греції були придумані моделі руху планет Сонячної системи навколо Сонця. Ці моделі були дуже складними, оскільки видимий рух планет по небу описується дуже складними лініями, вони були названі епіциклами. Перша спроба опису всесвіту була зроблена в Стародавній Греції в другому столітті нашої ери Птолемеєм (рис. 1).
Мал. 1. Геоцентрична модель К. Птолемея ( джерело )
Він запропонував помістити Землю в центр Всесвіту, а руху планет описувалися великими і малими колами, які були названі епіциклами Птолемея.
Тільки в XVI столітті Коперник запропонував замінити геоцентричну модель світу Птолемея на геліоцентричну. Тобто помістити Сонце в центр Всесвіту і припустити, що всі планети і Земля разом з ними рухаються навколо Сонця (рис. 2).
Мал. 2. Геліоцентрична модель М. Коперника ( джерело )
На початку XVII століття німецький астроном Йоганн Кеплер, обробивши величезну кількість астрономічної інформації, отриманої датським астрономом Тихо Браге, запропонував свої емпіричні закони, які з тих пір носять назву закони Кеплера.
Всі планети Сонячної Системи рухаються по деяких кривих, які називаються еліпс. Еліпс - це одна з найпростіших математичних кривих, так звана крива другого порядку. В середні віки їх називали конічними перетинами - якщо перетнути конус або циліндр деякої площиною, то отримаємо ту саму криву, по якій рухаються планети Сонячної системи.
Мал. 3. Крива руху планет ( джерело )
Ця крива (Рис. 3) має дві виділені точки, які називаються фокуси. Для кожної точки еліпса сума відстаней від неї до фокусів однакова. В одному з цих фокусів знаходиться центр Сонце (F), ближня до Сонця точка кривої (P) носить назву перигелій, а найдальша (A) - афелій. Відстань від перигелію до центру еліпса називається велика піввісь, а відстань від центру еліпса по вертикалі до еліпса малої полуосью еліпса.
У процесі руху планети по еліпсу радіус-вектор, що з'єднує центр Сонця з цією планетою, описує деяку площу. Наприклад, за час Δt планета перемістилася з однієї точки в іншу, радіус-вектор описав деяку площу ΔS.
Мал. 4. Другий закон Кеплера ( джерело )
Другий закон Кеплера говорить: за однакові проміжки часу радіус-вектора планет описують однакові площі.
На малюнку 4 зображено кут ΔΘ, це кут повороту радіус-вектора за деякий час Δt і імпульс планети ( 
), Спрямований по дотичній до траєкторії, розкладений на дві складові - складова імпульсу по радіус-вектору ( 
) І складова імпульсів, в напрямку, перпендикулярному радіус-вектору ( ⊥).
Зробимо обчислення, пов'язані з другим законом Кеплера. Затвердження Кеплера, що за рівні проміжки проходяться рівні площі, означає, що відношення цих величин є величина постійна. Ставлення цих величин часто називають секторальної швидкістю, це швидкість зміни положення радіус-вектора. Яка ж площа ΔS, яку замітає радіус-вектор за час Δt? Це площа трикутника, висота якого приблизно дорівнює радіус-вектору, а підстава приблизно дорівнює r Δω, скориставшись цим твердженням, напишемо величину ΔS у вигляді ½ висоти на підставу і розділимо на Δt, отримаємо вираз:
, Це швидкість зміни кута, тобто кутова швидкість.
Остаточний результат:
,
Квадрат відстані до центру Сонця, помножений на кутову швидкість руху в даний момент часу, є величина постійна.
Але якщо ми помножимо вираз r2ω на масу тіла m, то отримаємо величину, яку можна представити у вигляді добутку довжини радіус-вектора на імпульс в напрямку, поперечному до радіус-вектору:
Ця величина, що дорівнює добутку радіус-вектора на перпендикулярну складову імпульсу, носить назву «момент кількості руху».
Другий закон Кеплера є твердження про те, що момент кількості руху в гравітаційному полі - величина зберігається. Звідси випливає просте, але дуже важливе твердження: в точках найменшого і найбільшого відстані до центру Сонця, тобто афелій і перигелій, швидкість направлена перпендикулярно до радіус-вектору, тому твір радіус-вектора на швидкість в одній точці одно цього твору в іншій точці.
Третій закон Кеплера стверджує, що ставлення квадрата періоду обертання планети навколо Сонця до кубу велика піввісь є величина однакова для всіх планет Сонячної системи.
Мал. 5. Довільні траєкторії планет ( джерело )
На малюнку 5 представлені дві довільні траєкторії планет. Одна має явний вигляд еліпса з довжиною піввісь (a), друга має вигляд кола з радіусом (R), час звернення по кожній із цих траєкторій, тобто період обертання, пов'язаний з довжиною піввісь або з радіусом. А якщо еліпс перетворюється в коло, то велика піввісь якраз і стає радіусом цього кола. Третій закон Кеплера стверджує, що в тому випадку, коли довжина великої півосі дорівнює радіусу кола, періоди обертання планет навколо Сонця будуть однаковими.
Для випадку окружності можна обчислити це відношення, користуючись другим законом Ньютона і законом руху тіла по колу, ця константа є 4π2, поділене на постійну всесвітнього тяжіння (G) і масу Сонця (M).
Таким чином, видно, що, якщо узагальнити гравітаційні взаємодії, як це зробив Ньютон, і припустити, що всі тіла беруть участь в гравітаційній взаємодії, закони Кеплера можна поширювати на рух супутників навколо Землі, на рух супутників навколо будь-якої іншої планети і навіть на рух супутників місяця навколо центру місяця. Тільки в правій частині цієї формули буква М означатиме масу того тіла, яке притягує до себе супутники. Всі супутники даного космічного об'єкта матимуть однакове ставлення квадрата періоду обігу (Т2) до кубу велика піввісь (а3). Цей закон може бути поширений на взагалі всі тіла у Всесвіті і навіть на зірки, з яких складається наша Галактика.
У другій половині ХХ століття було помічено, що деякі зірки, які знаходяться досить далеко від центру нашої Галактики, не підкоряються цим законом Кеплера. Це означає, що ми не все знаємо про те, як діє гравітація в розмірах нашої Галактики. Одним з можливих пояснень того, чому далекі зірки рухаються швидше, ніж це потрібно за третім законом Кеплера, виявилося наступне: ми бачимо не всю масу Галактики. Значна її частина може складатися з речовини, яка не наблюдаемо нашими приладами, не взаємодіє електромагнітно, не випромінює і не поглинає світло, а бере участь тільки в гравітаційній взаємодії. Таке речовина була названа прихованої масою або темною матерією. Проблеми темної матерії - це одна з основних проблем фізики XXI століття.
Тема наступного уроку: системи матеріальних точок, центр мас, закон руху центру мас.
Список літератури
- Тихомирова С.А., Яворський Б.М. Фізика (базовий рівень) - М .: Мнемозина, 2012.
- Кабардин О.Ф., Орлов В.А., Евенчік Е.Е Фізика-10. М .: Просвещение, 2010 року.
- Відкрита фізика ( джерело )
Додаткові рекомендовані посилання на ресурси мережі Інтернет
- Elementy.ru ( джерело ).
- Physics.ru ( джерело ).
- Ency.info ( джерело ).
Домашнє завдання
- Дати визначення першого закону Кеплера.
- Дати визначення другого закону Кеплера.
- Дати визначення третім законом Кеплера.