6.4. Рівняння Бернуллі. Стаціонарне рух ідеальної рідини

Внаслідок малої стисливості рідини у багатьох випадках можна повністю знехтувати зміною її обсягу, тобто можна говорити про абсолютно нестисливої ​​рідини.

Рідина, в якій при будь-яких рухах не виникають сили внутрішнього тертя, називають ідеальною .

В ідеальній рідині можуть існувати тільки сили нормального тиску, які можна обчислити за допомогою рівняння стану

Р = f (r, T). (6.21)

Якщо рідина знаходиться в русі, то поряд з нормальним напругою в ній можуть виникнути і дотичні сили, які визначаються швидкістю деформації рідини, тобто рівні похідним деформації за часом. Тому їх відносять до розряду сил тертя, або в'язкості.

Розглянемо стаціонарне рух ідеальної рідини в потенційному полі сил (наприклад, поле сили тяжіння).

Робота, що здійснюється силами тиску при переміщенні деякої маси рідини

де А1 - робота по переміщенню лівої межі АБ об'єму рідини; А2 - робота по переміщенню правої межі ВГ об'єму рідини проти тиску Р2 (рис. 6.5); D m - маса рідини; r 1 і r 2 - щільності рідини зліва і справа в даному обсязі, відповідно.

Мал. 6.5

Ця робота дорівнює приросту повної енергії DW, що розглядається об'єму рідини (закон збереження енергії для стаціонарного руху рідини).

Зміна повної енергії

DW = (w2 - w1) D m, (6.23)

де w1, w2 - повні енергії, що припадають на одиницю маси рідини до і після переміщення.

Вирішивши (6.22) і (6.23), отримаємо

Отже, при стаціонарному перебігу ідеальної рідини уздовж однієї і тієї ж лінії струму, величина залишається постійною.

Отриману формулу (6.24) називають рівнянням Бернуллі , Яке справедливо і для стисливої рідини.

Бернуллі Данило (1700-1782) - фізик і математик. У 1725-1733гг. працював в Петербурзької академії наук. В основній своїй роботі "Гідродинаміка" Бернуллі вперше вводить поняття роботи, користуючись поняттям коефіцієнта корисної дії; формулює основне рівняння рух стаціонарної ідеальної рідини (рівняння Бернуллі); викладає ідеї кінетичної теорії газів. Спільно з Л. Ейлером є творцем теоретичної гідродинаміки. Дав теоретичне пояснення закону Бойля-Маріотта.

Якщо рідина нестислива, то при її перебігу не змінюється та частина повної енергії w, яка залежить від ступеня стиснення рідини.

Вся повна енергія w складається з кінетичної енергії wk = v2 / 2 і потенційної енергії в полі сили тяжіння w р = gh. Тому рівняння Бернуллі приймає вигляд

Якщо тонка трубка струму має змінне перетин (її вісь - горизонтальна), то h = сonst і рівняння (6.25) приймає більш простий вигляд:

Висновок: тиск в перерізі трубки тим більше, чим менше швидкість течії рідини. Згідно (6.26) швидкість мінімальна там, де максимально перетин трубки. Отже, в широких частинах трубки тиск максимально, а у вузьких - мінімально.

Суть цього висновку добре проілюстрована в даній комп'ютерної моделі "Перебіг ідеальної рідини".

Комп'ютерна модель призначена для вивчення закону руху ідеальної нестисливої ​​рідини по горизонтальній трубі змінного перерізу. За допомогою манометричних трубок, поміщених в різних ділянках труби, вимірюється статичний тиск в рідині. Можна змінювати діаметри ділянок труби і спостерігати за зміною швидкості течії рідини і її тиском. Переконайтеся в тому, що тиск в рідині більше в тих ділянках труби, де швидкість течії менше (наслідок з рівняння Бернуллі).

На підставі рівнянь (6.26) і (6.24) можна сказати, коли при перебігу рідини або газу вони є нестисливими.

Якщо розглядати витікання ідеальної нестисливої ​​рідини через малий отвір в бічній стінці або на дні посудини, то частинки рідини підходять до отвору, маючи швидкість в поперечних напрямках.

Через інерції це викликає стискання витікає струменя (рис. 6.6).

Мал. 6.6

Мал. 6.7

Щоб цього не спостерігалося, у отвори заокруглені краї. Тому лінії струму перед закінченням поступово змінюють напрямок на паралельні осі трубки і стиснення струменя не відбувається (за винятком невеликого стиснення, викликаного силами поверхневого натягу).

Застосувавши рівняння Бернуллі (6.24) до точок А і Б довільної лінії струму (рис. 6.6), отримаємо рівність

де v- швидкість рідини в точці Б (в точці А швидкість дуже мала);

Р0 - атмосферний тиск; h - висота стовпа рідини.

З (6.27) маємо

Рівність (6.28) називається формулою Торрічелі .

Торрічеллі (Torricelli) Еванджеліста (1608-47), італійський фізик і математик. Учень Г. Галілея. Винайшов ртутний барометр, відкрив існування атмосферного тиску і вакууму (торрічелліевой порожнеча). Вивів формулу, яка була названа його ім'ям.

Для вимірювання швидкості потоку рідини (газу) використовують трубку Вентурі (рис. 6.7).