Штучні супутники Землі.

Рівняння руху тіл зі змінною масою є наслідками законів Ньютона. Тим не менш, вони представляють великий інтерес, головним чином, у зв'язку з ракетною технікою. Виведемо рівняння руху матеріальної точки зі змінною масою на прикладі руху ракети.

Реактивний рух.

Принцип дії ракети дуже простий. Ракета з великою швидкістю викидає речовина (гази), впливаючи на нього з великою силою. Викидається речовина з тією ж, але протилежно спрямованої силою, в свою чергу, діє на ракету і повідомляє їй прискорення в протилежному напрямку. Якщо немає зовнішніх сил, то ракета разом з викинутим речовиною є замкнута система. Імпульс такої системи не може змінюватися в часі. На цьому положенні і заснована теорія руху ракет.

Нескладні перетворення закону зміни імпульсу призводять до рівняння Мещерського: Тут m - поточна маса ракети, - щосекундний витрата маси, vrel - швидкість газового струменя (тобто швидкість витікання газів щодо ракети), F - зовнішні сили, що діють на ракету. За формою це рівняння нагадує другий закон Ньютона, проте, маса тіла m тут змінюється у часі через втрату речовини. До зовнішньої силі додається додатковий член, який може бути витлумачений як реактивна сила. Застосувавши рівняння Мещерського до руху ракети, на яку не діють зовнішні сили, і проинтегрировав рівняння, отримаємо формулу Ціолковського:

Формула Ціолковського дозволяє розрахувати запас палива, необхідний, щоб повідомити ракеті швидкість v. Зокрема, можна отримати, що запас палива, необхідного для здійснення міжзоряного подорожі (з поверненням назад), повинен перевищувати масу космічного корабля в кілька тисяч разів. Але для міжзоряних перельотів ракети на хімічному паливі абсолютно непридатні. Відстані до зірок вимірюються світловими роками - від найближчої зірки світло йде до Землі близько 4 років. Тому для досягнення навіть найближчих зірок потрібні космічні кораблі, швидкості яких близькі до швидкості світла c. Якщо, наприклад, швидкість ракети повинна становити чверть швидкості світла, то на кожну тонну корисного вантажу має припадати 5 ∙ 103 327 тонн палива! (До речі, при таких швидкостях може бути застосована тільки релятивістська формула Ціолковського, вона ще більше збільшує необхідну кількість палива). Зазвичай, коли мають справу з дуже великими величинами, їх називають «астрономічними». В даному випадку таке порівняння не годиться - йдеться про величинах незрівнянно більшого масштабу. Навряд чи має сенс говорити про рух настільки фантастично гігантського космічного корабля щодо Всесвіту, що має в порівнянні з ним незначну масу. Було б необачно на підставі вищевикладеного зробити висновок, що зоряні світи ніколи не будуть доступні земним космонавтам. Тільки віддалене майбутнє покаже, можливо це чи ні. Для перетворення ракети в зореліт, перш за все, необхідно підвищити швидкість струменя, наблизивши її до швидкості світла. Ідеальним був би випадок vrel = c. Так було б у фотонної ракети, в якій роль газового струменя мав би грати світловий пучок. Реактивна сила в фотонної ракети здійснювалася б тиском світла. Перетворення речовини в випромінювання постійно відбувається всередині зірок. Цей процес здійснюється і на Землі (вибухи атомних і водневих бомб). Чи можливо надати йому керований характер і використовувати в фотонних ракетах - на це питання відповідати зараз передчасно.

Рух штучних супутників Землі

Отримані в попередньому розділі результати можна застосовувати не тільки до планет, але і до штучних супутників. Повна механічна енергія супутника в поле земного тяжіння дорівнює де M - маса Землі, r - відстань до її центру, m і v - відповідно, маса і швидкість супутника. Якщо енергія E негативна, то рух буде відбуватися по финитной траєкторії - еліпсу. При круговому русі Саме таку швидкість треба надати супутнику, щоб вивести його на навколоземну кругову орбіту. Якщо r - радіус земної кулі, то одержувана за цією формулою величина називається першою космічною швидкістю. Вона приблизно дорівнює 7,9 км / с. Мінімальна швидкість, яку треба повідомити тілу, щоб воно ніколи не повернулося на Землю, називається другою космічною швидкістю. Вона дорівнює параболічної швидкості, де r - радіус Землі: і відповідає руху по параболічної траєкторії. Якщо ж повна механічна енергія позитивна, то супутник буде рухатися по гіперболі. Величина третьою космічною швидкістю залежить від того, в якому напрямку корабель виходить із зони дії земного тяжіння.

Аналогічні обчислення можна провести і для Сонця. Середня швидкість Землі щодо Сонця ~ 29,8 км / с. Для того, щоб при запуску з такої відстані тіло назавжди покинуло межі Сонячної системи, йому треба повідомити швидкість щодо Сонця не менше Якби тіло не піддавалося впливу земного тяжіння, то йому достатньо було б повідомити щодо Землі додаткову швидкість 42,1 - 29,8 = 12,3 км / с в напрямку її руху. Тоді відносно Сонця тіло почне рухатися по параболічної траєкторії. Насправді для цього потрібна велика швидкість, так як тіло додатково має подолати вплив земного тяжіння. Облік цієї поправки дає значення 16,7 км / с. Швидкість щодо Землі, яку необхідно повідомити тілу, щоб воно назавжди покинуло межі Сонячної системи, називається третьою космічною швидкістю. Величина третьою космічною швидкістю залежить від того, в якому напрямку корабель виходить із зони дії земного тяжіння. Вона мінімальна, якщо цей напрям збігається з напрямом орбітального руху Землі навколо Сонця, і максимальна, коли ці напрямки протилежні. Якщо супутник, наприклад, космічна станція, рухається навколо Землі, то космонавти всередині нього знаходяться в невагомості. Було б невірним вважати, що сила тяжіння, що діє на всі тіла всередині станції, дорівнює нулю. Вона відрізняється від сили тяжіння на поверхні Землі лише в раз. Оскільки висота подібних супутників h над поверхнею Землі становить зазвичай сотні кілометрів, а R = 6400 км, то сила тяжіння на орбіті лише на 10-20% менше сили тяжіння біля поверхні. Стан невагомості на орбіті створюється через те, що супутник рухається по орбіті лише під дією сили тяжіння. Якщо розглянути динаміку супутника в неінерціальної системи відліку, в якій він мешкає, то сили тяжіння буде протидіяти рівна їй за величиною відцентрова сила, і результуюча сила буде дорівнює нулю.

Сили, що діють на космонавтів всередині космічного корабля, що обертається навколо Землі. Рух космічних апаратів з навколоземних орбітах описуються за допомогою орбітальних елементів.

Рух супутника буде визначено в просторі, якщо відомі площину, в якій лежить його орбіта, розміри і форма цієї орбіти, її орієнтація в просторі і момент часу, в який супутник знаходиться в певній точці орбіти. Як приклад розглянемо рух супутника навколо Землі.

Оскуллірующіе елементи.

Щоб охарактеризувати орієнтацію орбіти в просторі, потрібно перш за все поставити базову систему координат, початок якої збігається з фокусом орбіти O (тобто з центром Землі). За основну площину OXY, щодо якої визначається положення орбіти супутника, приймається площину екватора. Ось OX перетинає екватор в точці з довготою 0º, відповідної Грінвічським меридіану. Для задач, пов'язаних з міжпланетними перельотами, зазвичай вибирають площину екліптики, а вісь OX спрямована на точку весняного рівнодення.

Площина орбіти перетинається з екватором в двох точках. Точка Ω переходу з південної півкулі в північну називається висхідним вузлом. Протилежна їй точка Ω 'називається низхідним вузлом. Кут Ω між віссю OX і напрямком на висхідній вузол OΩ називається довготою висхідного вузла. Довгота висхідного вузла вимірюється в межах від 0 ° до 360 °. Якщо орбіта лежить в площині екватора, то поняття висхідного вузла вважається невизначеним. Пряма, через яку площину орбіти перетинається з базовою площиною OXY, називається лінією вузлів. Кут i між площиною екватора і площиною траєкторії небесного тіла називається нахилом площини орбіти. Він приймає значення від 0 ° до 180 °. Якщо 0 °

Завдяки обертанню Землі з космічного апарату за короткий час можна побачити більшу частину поверхні земної кулі. Карта Центру управління польотом (ЦУП). Кути Ω і i повністю визначають площину орбіти, велика піввісь a і ексцентриситет e - форму цієї орбіти. Направлення на перицентр ω задає орієнтацію орбіти на площині, а широта u (або справжня аномалія ν, або, нарешті, епоха τ) - положення тіла на цій орбіті. З кожним оборотом довгота висхідного вузла Ω змінюється. Це викликано обертанням Землі. Якби космічний апарат рухався в поле однорідної кулі, то інші елементи орбіти не змінювалися б (за винятком, звичайно, істинної аномалії). Однак обурення, викликані гравітаційним полем Сонця і Місяця, атмосферою та іншими причинами змінюють рух супутника. Найважливішим із цих збурень для орбіт, близьких до Землі, є обурення, викликане несферичністю Землі.

Якісна інтерпретація прецесії орбіти супутника в поле несферичність Землі. Так як Земля сплюснута до екватора, її гравітаційне поле відрізняється від поля однорідного кулі. Якісну інтерпретацію внесеного обурення можна отримати, «розмазавши» космічний апарат по орбіті. Додаткова маса на екваторі змушує орбіту прецессировать так само, як сила тяжіння змушує прецессировать нахилу вісь швидко обертового дзиги. Завдяки зазначеній прецесії довгота висхідного вузла, наприклад, станції «Мир» додатково зміщалася на 4 ° на добу (близько 400 км). Прецессия орбіти в деяких випадках може виявитися вельми корисна. Зокрема, вона допомагає отримати карти зоряного неба. Якщо телескоп на орбіті спрямований завжди по вертикалі від центру Землі, то за один виток можна сфотографувати зірки вузької кільцевої зони близько площині орбіти. Якби прецесії орбіти не існувало, то космічний апарат фотографував би одні й ті ж зірки. А завдяки зазначеної прецесії все небесна сфера могла б бути знята за 45 діб без додаткових витрат енергії на зміну площині супутника. Несферичність Землі змінює також напрямок на перицентр ω. Якщо супутник постійно знаходиться над однією і тією ж точкою земної кулі, то орбіта, по якій він рухається, називається геостаціонарній. Її висоту можна легко знайти з другого закону, прирівнявши кутову швидкість обертання Землі до кутової швидкості супутника.

Маневри космічних апаратів

Маневри космічних апаратів необхідні в багатьох випадках:

• для зближення з іншим космічним апаратом або корекції траєкторії при підльоті до планети призначення;
• для підтримки постійної висоти польоту при русі в верхніх шарах атмосфери;
• для зміни періоду обертання, необхідного, наприклад, при стикуванні;
• при посадці космічного апарату.

Розглянемо основи теорії еволюції орбіт.

Нехай супутник рухається по еліптичній орбіті. Миттєвий імпульс не змінює координат, а змінює лише швидкість. Тому відбудеться миттєве зміна велика піввісь, тобто перехід з орбіти 1 на орбіту 2.

На схемах наведено зміна спочатку кругових орбіт імпульсами, спрямованими «по швидкості» і «проти швидкості». Як видно зі схем, орбіта відчуває найбільше геометричне зміщення в області, противолежащей точці, в якій тіла був повідомлений імпульс.

Гальмування КА в атмосфері.

Гальмування в розрідженій атмосфері можна моделювати миттєвими імпульсами в перицентра, завдяки чому зменшується довжина великої півосі орбіти. В результаті еліптична орбіта з кожним оборотом все більше і більше наближається до кола. Коли вся орбіта виявиться в атмосфері (критична висота - близько 100 км), гальмування буде настільки велике, що супутник впаде на Землю. Гальмування в атмосфері використовується при посадці космічних апаратів. Досить «зіштовхнути» супутник до висоти близько 100 км (необхідний імпульс - близько 100 м / с), після чого він сам буде гальмуватися за рахунок взаємодії з атмосферою. Двухімпульсний перехід необхідний в тих випадках, коли вихідна і необхідна орбіта не мають спільних точок - наприклад, переліт від однієї планети до іншої. Для такого перельоту необхідно повідомити два імпульсу, а проміжна орбіта називається еліпсом Гомана.

Міжпланетний переліт.

Зміна форми орбіти є вельми економним маневром. Так, імпульс в 140 м / с, якого вистачило б для повороту орбіти на лише 1 °, здатний змінити висоту польоту на 240 км. Одним з найбільш «дорогих» в сенсі витрат палива маневрів є маневр зміни площині орбіти. Щоб змінити спосіб на один радіан, потрібно, як мінімум, перша космічна швидкість! Розраховуючи рух космічних апаратів, намагаються обходитися без цих маневрів, чекаючи, поки Земля сама повернеться на потрібний кут.

Ефективність маневру зміни площини орбіти залежить від того, в якій точці орбіти він виконується.

Ефективність цього маневру залежить від того, в якій точці орбіти він виконується: включення двигунів в вузлі орбіти призведе до зміни способу, в той час, як імпульс в точці, широта якої дорівнює π / 2, залишить спосіб колишнім, але змінить довготу висхідного вузла. Швидкість космічного апарату описується формулою, де M - маса притягає центру, r - відстань до нього, a - велика піввісь орбіти. З цієї формули легко отримати, що витрати енергії на міжпланетні перельоти слабо залежать від a, тому що доданок r / a наближається до нуля (особливо для далеких перельотів). Тому необхідні швидкості розгону для подорожі до Місяця і до Марса мають однакові порядки, а їх відмінність пов'язана, перш за все, з необхідністю враховувати рух навколо Сонця.

Міжпланетний переліт.

При подорожі на іншу планету необхідна швидкість не менше 11 км / с, після чого космічний апарат виходить на еліптичну орбіту навколо Сонця. При підльоті до планети включаються двигуни гальмування, після чого апарат виходить на околопланетную орбіту або сідає на поверхню планети.

Гравітаційний маневр.

Для додаткового розгону використовується гравітаційне поле планет, мимо яких пролітає космічний апарат, - здійснюється гравітаційний маневр. Апарат увійде в гравісферу планети уздовж асимптоти зі швидкістю v∞ щодо планети, повернеться на кут (тут c - прицільна дальність - відстань між прямою, паралельною вектору швидкості апарату в нескінченності і центром планети) і вийде з її поля дії з тією ж по модулю щодо планети швидкістю v∞ (закон збереження імпульсу). Максимальний кут повороту досягається при прицільної дальності, яка дорівнює радіусу планети:, де vI - перша космічна швидкість, властива цій планеті.

Принцип гравітаційного маневру схожий на звичайне пружне відображення тіла від масивної стінки.

Джерело інформації: "Відкрита астрономія 2.5" "ТОВ" ФІЗІКОН "

Головна сторінка розділу