Закони, за якими планети обертаються навколо Сонця, були емпірично (тобто зі спостережень) встановлені Кеплером, а потім теоретично обгрунтовані на основі закону всесвітнього тяжіння Ньютона.

Перший закон. Кожна планета рухається по еліпсу, в одному з фокусів якого знаходиться Сонце.

Другий закон. При русі планети її радіус-вектор описує рівні площі за рівні проміжки часу.

Третій закон. Квадрати сидеричних часів звернень планет ставляться один до одного як куби великих піввісь їх орбіт (як куби їх середніх відстаней від Сонця):

Третій закон Кеплера є наближеним, із закону всесвітнього тяжіння був отриманий уточнений третій закон Кеплера:

Третій закон Кеплера виконується з хорошою точністю тільки тому, що маси планет багато менше маси Сонця .

Еліпс - це геометрична фігура (див. Рис. 20), у якій є дві головні точки - фокуси F 1, F 2, і сума відстаней від будь-якої точки еліпса до кожного з фокусів є величина постійна, рівна великий осі еліпса. У еліпса є центр O, відстань від якого до найвіддаленішої точки еліпса називається велика піввісь a, а відстань від центру до самої найближчої точки називається малої полуосью b. Величина, яка характеризує сплюснутістю еліпса, називається ексцентриситетом e:

Окружність є окремим випадком еліпса (e = 0).

Відстань від планети до Сонця змінюється від найменшого, рівного

Рух штучних небесних тіл підпорядковується тим же законам, що і природних. Проте, необхідно відзначити ряд особливостей.

Головне - розміри орбіт штучних супутників, як правило, можна порівняти з розмірами планети, навколо якої вони звертаються, тому часто говорять про висоту супутника над поверхнею планети (рис.21). При цьому треба враховувати, що у фокусі орбіти супутника знаходиться центр планети.

Для штучних супутників вводять поняття першої та другої космічної швидкості.

Перша космічна швидкість або кругова швидкість - це швидкість кругового орбітального руху у поверхні планети на висоті h:

Друга космічна швидкість або параболічна швидкість - це швидкість, яку необхідно надати космічному апарату, щоб він міг покинути сферу тяжіння даної планети по параболічної орбіті:

Швидкість небесного тіла в будь-якій точці еліптичної орбіти на відстані R від тяжіє центру може бути розрахована за формулою:

питання

4. Чи може статися проходження Марса по диску Сонця? Проходження Меркурія? Проходження Юпітера?

5. Чи можна побачити Меркурій увечері на сході? А Юпітер?

завдання

46. Протистояння Марса сталося 19 травня. У якому сузір'ї він був видний?

Рішення: Орбіти всіх планет лежать приблизно в одній площині, тому планети рухаються по небесній сфері приблизно по екліптиці. У момент протистояння прямі сходження Марса і Сонця відрізняються на 180 o: . обчислимо на 19 травня. 21 березня він дорівнює 0 o. У день пряме сходження Сонця збільшується приблизно на 1 o. З 21 березня по 19 травня пройшло 59 днів. значить, , а . На небесної карті можна побачити, що екліптика при такому прямому сходженні проходить по сузір'ях Ваги і Скорпіон, значить Марс знаходився в одному з цих сузір'їв.

48. (663) Визначити масу Урана в одиницях маси Землі, порівнюючи рух Місяця навколо Землі з рухом супутника Урана - Титані, що обертається навколо нього з періодом 8 d .7 на відстані 438 000 км. Період обертання Місяця навколо Землі 27 d .3, і середня відстань її від Землі складає 384 000 км.

Рішення: Для вирішення завдання необхідно скористатися третім уточненими законом Кеплера. Так як для будь-якого тіла масою m, що обертається навколо іншого тіла масою на середній відстані a з періодом T:

49. Беручи орбіту Місяця за коло і знаючи орбітальну швидкість руху Місяця v Л = 1.02 км / с, визначити масу Землі.

Рішення: Згадаймо формулу для квадрата кругової швидкості ( 35 ) І підставимо середня відстань Місяця від Землі a Л (див. Попередню задачу):

50. Обчислити масу подвійної зірки Центавра, у якій період обертання компонентів навколо загального центру мас T = 79 років, а відстань між ними 23.5 астрономічних одиниці (а.о.). Астрономічної одиницею називається відстань від Землі до Сонця, рівне приблизно 150 млн. Км.

Рішення: Вирішення цього завдання аналогічно рішенню завдання про масу Урана. Тільки при визначенні мас подвійних зірок їх порівнюють з парою Сонце-Земля і висловлюють їх масу в масах Сонця.

51. (1210) Розрахуйте лінійні швидкості космічного корабля в перигеї і апогеї, якщо над Землею в перигеї він пролітає на висоті 227 км над поверхнею океану і велика вісь його орбіти становить 13 900 км. Радіус і маса Землі 6371 км і 6.0 1027 р

Рішення: Розрахуємо відстань від супутника до Землі в апогеї (найбільшій відстані від Землі). Для цього необхідно знаючи відстань в перигеї (найкоротша відстань від Землі) обчислити ексцентриситет орбіти супутника за формулою ( 31 ) І потім визначити шукане відстань використовуючи формулу (32). Отримаємо h a = 931 км.

Далі скористаємося формулою ( 35 ) Для обчислення швидкості тіла на будь-якій відстані від тяжіє центру і обчислимо швидкість в перигеї і апогеї:

52. (393) Орбітальний період обертання одного з астероїдів становить 3 роки. Який зоряний період його звернення навколо Сонця?

53. (400) Знайти середнє добове рух Меркурія по орбіті (величину дуги орбіти, яку він проходить за земну добу), якщо синодичний період його обертання навколо Сонця дорівнює 115.88 діб.

54. (417) З якою видимої кутовий швидкістю Венера перетинає диск Сонця? Скільки часу триває її проходження по диску Сонця, якщо воно центральне? Відстань Венери від Сонця 0.723 а.о., синодичний період обертання 584 дня, кутовий діаметр Сонця 32 '.

55. (662) Обчислити масу Нептуна щодо маси Землі, знаючи, що його супутник відстоїть від центру планети на 354 000 км і період його обертання дорівнює 5 діб 21 годині.

56. (671) Яка повинна бути маса Землі (в порівнянні з дійсною), щоб Місяць зверталася навколо неї з сучасним періодом, але на вдвічі більшій відстані?

57. (675) утримати б Сонце нашу Землю, неслася навколо нього зі швидкістю 29.76 км / сек, якби маса Сонця раптово зменшилася в два рази?

58. (1214) Для цілей зв'язку потрібні супутники, які "висять" над однією і тією ж точкою Землі, так звані геостаціонарні супутники. На якій висоті над поверхнею Землі вони повинні знаходитися?

59. (1217) Космонавти облітають Місяць по круговій орбіті на висоті 50 км. На скільки їм треба збільшити двигунами швидкість свого космічного корабля, щоб повернутися на Землю? Радіус Місяця +1738 км, а її маса становить 1/81 маси Землі.