Рух твердого тіла. Момент імпульсу. Кінетична енергія. Гіроскоп.

Рух твердого тіла

У твердому тілі відстані між будь-якими точками по визначенню незмінні. Тверде тіло має шість ступенів свободи: для завдання його положення потрібно вказати, наприклад, три координати будь-якої його точки і три кути, що характеризують його орієнтацію в пространстве.Поступательное рух. Рух тіла, при якому його орієнтація залишається незмінною, називається поступальним. Пріпоступательном русі всі крапки тіла рухаються по однаковим паралельних траєкторіями з однаковими швидкостями (рис. 150),

При поступальному русі всі точки тіла рухаються по однаковим паралельних траєкторіями з однаковими скоростяміРіс. 151. Швидкість точок твердого тіла при обертанні навколо фіксованої осіпоетому все тіло можна розглядати як одну матеріальну точку. Інші важливі види руху твердого тіла - обертання навколо фіксованої осі, плоский рух, обертання навколо нерухомої точкі.Вращеніе навколо осі. При обертанні навколо фіксованої осі (рис. 151) всі точки тіла рухаються по колу, причому швидкість будь-який з них дорівнює векторному добутку однієї і тієї ж для всього тіла кутової швидкості з, спрямованої уздовж осі обертання, і радий і вуса-вектора г розглянутої точки тела.Модуль швидкості відстань до осі обертання (рис. 151). Такому руху відповідає одна ступінь свободи.Плоское рух. Окремий випадок плоского руху - кочення циліндра (рис. 152). Його можна уявити як суму обертання навколо будь-якої осі, паралельної твірної циліндра, і поступального руху зі швидкістю, що дорівнює швидкості точок циліндра, що лежать на цій осі. При будь-якому виборі осі кутова швидкість зі одна і та ж. Як вісь обертання зручно вибирати або вісь Про циліндра, або лінію торкання циліндра з поверхнею, по якій він котиться. Якщо кочення відбувається без прослизання, то швидкості точок на лінії торкання дорівнюють нулю, а швидкість будь-який інший точки циліндра буде такою ж, як при обертанні з тією ж кутовою швидкістю навколо нерухомої осі, що проходить через лінію торкання миттєва вісь вращенія.Распределеніе швидкостей точок, що лежать на вертикальному діаметрі, показано на рис. 152а. Наприклад, швидкість точки А равнаРіс. 152. Швидкості точок при коченні циліндра так як вона знаходиться на відстані від миттєвої. Її можна представити як суму швидкості осі циліндра і швидкості, обумовленої обертанням навколо осі циліндра (рис. 152): так як при коченні без ковзання. Точки осі циліндра рухаються прямолінійно; точки поверхні циліндра - по циклоидам; точки, що знаходяться між віссю і поверхнею, - по трохоїда.

Обертання навколо точки. Приклад обертання навколо нерухомої точки - кочення без проковзування конуса В по поверхні нерухомого конуса Л, що має з ним спільну вершину (рис. 153). Такий рух можна уявити або як чисте обертання конуса В з кутовою швидкістю з довкола миттєвої осі, що проходить по лінії торкання, або як суму двох обертань: з кутовий швидкістю навколо власної осі і з кутовий швидкістю навколо осі нерухомого конуса.

Це означає, що швидкість будь-якої точки котиться конуса визначається за формулою, в яку можна підставити. Точки осі рухомого конуса рухаються по колах, а не лежать на осі точки описують складні хвилеподібні траєкторії

Момент імпульсу.

В динаміці твердого тіла поряд з імпульсом важливу роль відіграє фізична величина, яка називається моментом імпульсу. Для матеріальної точки момент імпульсу визначається як векторний добуток радіуса-вектора частинки на її імпульс.Із цього визначення і другого закону Ньютона випливає, що закон зміни моменту імпульсу частинки має відгде момент суми всіх діючих сіл.Дінаміка твердого тіла. Основні положення динаміки абсолютно твердого тіла наводяться нижче без доказу. Основу динаміки твердого тіла становлять закони зміни імпульсу і моменту імпульсу тіла, що розглядається як система матеріальних точек.Імпульс і момент імпульсу тіла складаються з імпульсів і моментів імпульсу окремих матеріальних точок, на які можна подумки розбити тверде тіло. Шість незалежних рівнянь відповідають шести ступенів свободи твердого тела.Еслі все зовнішні сили відомі, то рівняння дозволяє знайти закон руху центру мас тіла, а закон обертання тіла навколо центру масс.Вращеніе твердого тіла навколо фіксованої осі, як уже зазначалося, характеризується одним ступенем свободи. В цьому випадку проекція рівняння моменту імпульсу на напрямок осі обертання не містить невідомих сил реакції в підшипниках, що дозволяє знайти кутове прискорення тіла.

Момент інерції.

Проекцію моменту імпульсу на вісь обертання, як випливає з, можна представити у вигляді момент інерції тіла відносно осі, що складається з моментів інерції окремих його елементів, рівних добутку маси елемента, на квадрат відстані до осі.Ріс. 154. Моменти інерції різних телМомент інерції залежить не тільки від маси тіла, а й від її розподілу (рис. 154). Момент інерції обруча або тонкостінної труби щодо її осі равентак як всі елементи, знаходяться на однаковій відстані від осі. Момент інерції суцільного однорідного диска або циліндра равеноднородного шараоднородного стрижня довжини щодо перпендикулярної стрижня осі, що проходить через його середину.

Момент інерції щодо проходить через центр мас осі пов'язаний з моментом інерції щодо іншої паралельної осі, віддаленої на відстань (рис. 155), соотношеніемПояснім застосування рівняння моментів на наступному простому прикладі. На масивний барабан радіуса, який може обертатися навколо горизонтальної осі, намотана невагома нитка (рис. 156). До нитки прикладена сила. Момент імпульсу барабана відносно осі дорівнює. Момент сили відносно осі дорівнює. Проекція рівняння моментів на вісь приймає відУгловое прискорення-барабана пропорційно моменту сили і обернено пропорційно моменту інерції. Силу реакції підшипників, що діє на вісь барабана, можна знайти з, враховуючи, що прискорення центру мас дорівнює нулю.

Кінетична енергія.

Кінетична енергія твердого тіла, що обертається навколо фіксованої осі, може бути представлена ​​в відеПрі плоскому русі кінетична енергія твердого тіла дорівнює сумі кінетичної енергії обертання навколо осі, що проходить через центр мас, і кінетичної енергії поступального руху зі швидкістю центру масс.где момент інерції щодо осі, що проходить через центр мас. При коченні без ковзання обруча або тонкостінної труби кінетична енергія ділиться порівну між енергією обертання і енергією поступального руху, а при коченні суцільного однорідного циліндра - в відношенні.

Гіроскоп.

Симетричне тіло, швидко обертається навколо осі симетрії, називається гіроскопом. Момент імпульсу такого тіла спрямований уздовж осі обертання. За відсутності моментів зовнішніх сил вісь гіроскопа зберігає свій напрямок в інерціальній системі відліку. На цій властивості засновано дію приладів, використовуваних в інерційних системах навігації. Зміна напрямку осі гіроскопа відбувається під дією моментів зовнішніх сил. При не дуже великих моментах сил вісь повертається повільно, і з хорошою точністю можна вважати, що момент імпульсу і в цьому випадку спрямований уздовж осі, Це означає, що поведінка осі гіроскопа, як і поведінку вектора, описується рівнянням моменту імпульсу.

Незвичайна поведінка дзиги, що не відповідає інтуїтивним очікуванням, пояснюється тим, що згідно спроба повернути вісь дзиги викликає рух осі не в напрямку прикладеної сили, а в перпендикулярному напрямку вздовж вектора моменту сили. Так, наприклад, нахилений обертається дзига не перекидаються під дією сили тяжіння, так як вона змушує його вісь повільно рухатися по конусу, зберігаючи незмінний наклон.Покажем це. Нехай вісь обертового важкого дзиги відхилена від вертикалі (рис. 157). Момент сили тяжіння спрямований перпендикулярно вертикальній площині, що проходить через вісь дзиги. Відповідно до рівняння моменту імпульсу в цьому ж напрямку від нього бере зріст вектор моменту імпульсу волчка.В результаті вектор і разом з ним вісь дзиги здійснює прецесію, описує конус, як показано на рис. 157. Момент сили тяжіння, перекидаючий дзига, змушує його вісь повертатися в перпендикулярному напрямку.

�� Як можна задати положення твердого тіла в просторі? Покажіть, що тверде тіло в загальному випадку має шість ступенів свободи.

�� Що таке миттєва вісь обертання і чим вона чудова? Покажіть на прикладах, що положення миттєвої осі обертання змінюється як в просторі, так і щодо самого твердого тіла.

• Покажіть, диференціюючи вираз по часу, що закон зміни моменту імпульсу випливає з другого закону Ньютона.

• Покажіть, грунтуючись па визначенні, що при обертанні твердого тіла навколо фіксованої осі можна уявити проекцію моменту імпульсу на вісь обертання в вигляді, де момент інерції визначається співвідношенням.

• Доведіть формулу для кінетичної енергії твердого тіла, що обертається навколо фіксованої осі.

• Поясніть, чому дзига під дією перекидаючий його сили не перекидається, а робить прецесію.