- Поняття про плоскопаралельному русі
- Метод миттєвих центрів швидкостей
- Властивості миттєвого центру швидкостей
- Розкладання плоскопараллельного руху на обертальний і поступальний
Поняття про плоскопаралельному русі
Плоскопаралельним рухом твердого тіла називається такий рух, при якому всі точки тіла переміщуються в площинах, паралельних якоїсь однієї площини, яку називають основною площиною.
Прикладами плоскопараллельного руху можуть служити рух колеса на прямолінійній ділянці шляху, рух шатуна кривошипно-ползунного механізму.
З визначення плоскопараллельного руху слід, що будь-яка пряма АВ, проведена в тілі перпендикулярно основної площини, рухається поступально. Для визначення руху тіла на кожній прямій, перпендикулярній основній площині, досить знати рух тільки однієї точки.
Взявши ці точки в одній площині, паралельної основної, отримаємо перетин S, рух якого буде визначати рух всього тіла.
Але плоский рух перетину S цілком може бути визначено рухом будь-яких двох точок, що лежать в цьому перерізі. На підставі цього можна стверджувати, що плоскопараллельное рух тіла може бути визначено рухом відрізка прямої в площині, паралельній основний.
Плоскопараллельное рух вивчається двома методами: методом миттєвих центрів швидкостей і методом розкладання плоскопараллельного руху на найпростіші рухи - поступальний і обертальний.
***
Метод миттєвих центрів швидкостей
В основі цього методу лежить наступна теорема: всяке плоскопараллельное переміщення твердого тіла може бути отримано одним обертанням близько осі, перпендикулярній основній площині.
Нехай відрізок, який визначає плоскопараллельное рух тіла, за кінцевий проміжок часу перемістився з положення АВ в положення А1В1 (див. Рис. 3).
З'єднаємо точки А і А1, В і В1 прямими лініями і з середин отриманих відрізків (точок М і N) відновимо перпендикуляри до їх взаємного перетину в точці О. Цю точку з'єднаємо з кінцями відрізків АВ і А1ВВ1 прямими лініями, і отримаємо при цьому два рівних (конгруентний) трикутника, що мають спільну вершину Про:
Δ АОВ = Δ А1ОВ1.
Трикутник АОВ поєднується з трикутником А1ОВ1 шляхом повороту на кут φ навколо точки О, званої центром кінцевого повороту.
Точка О є слід осі кінцевого повороту, перпендикулярній основній площині. Таким чином, відрізок АВ, який визначає плоскопараллельное рух тіла, переміщається в будь-яке нове положення шляхом одного обертання навколо осі кінцевого повороту.
Теорема доведена.
Наведене доказ буде справедливо і в тому випадку, якщо переміщення тіла відбудеться за нескінченно малий проміжок часу Δt.
У межі при Δt прагне до нуля, обертання відбуватиметься навколо миттєвої осі, слід якої в площині фігури називається миттєвим центром швидкостей.
Очевидно, що швидкість точки, що є в даний момент миттєвим центром швидкостей, дорівнює нулю. Кутова швидкість ω, з якої відбувається миттєве обертання, називається миттєвою кутовою швидкістю.
Точка нерухомою площині, що збігається в даний момент часу з миттєвим центром швидкостей плоскої фігури, називається миттєвим центром обертання.
Якщо пряма АВ рухається паралельно самій собі, то можна вважати, що тіло обертається навколо осі, віддаленій в нескінченність, інакше кажучи, поступальний рух можна розглядати, як обертальний по колу нескінченно великого радіуса.
Таким чином, плоскопараллельное рух тіла може розглядатися, як безперервний ланцюг послідовних миттєвих поворотів навколо миттєвих осей обертання.
Слід зазначити, що методом миттєвих центрів швидкостей можна користуватися тільки для визначення швидкостей точки плоскої фігури, але не при визначенні траєкторій і прискорень цих точок.
***
Властивості миттєвого центру швидкостей
Розглядаючи в кожен момент часу складне плоскопараллельное рух як найпростіше - обертальний, можна для обчислення швидкостей точок твердого тіла застосовувати формули обертального руху.
Із закону розподілу швидкостей точок твердого тіла, що обертається навколо нерухомої осі, можна встановити такі властивості миттєвого центру швидкостей:
- Швидкість миттєвого центру швидкостей дорівнює нулю;
- Миттєвий центр швидкостей лежить на перпендикуляре, відновленому з точки до подання її швидкості;
- Швидкість точки дорівнює добутку миттєвої кутової швидкості на відстань точки від миттєвого центру швидкостей (див. Рис. 4): vА = ωОА.
На підставі цих властивостей можна встановити наступні способи визначення положення миттєвого центру швидкостей плоскої фігури, яка визначає плоскопараллельное рух:
1. Якщо відомі миттєва кутова швидкість ω і швидкість vА точки А плоскої фігури, то миттєвий центр швидкостей буде перебувати на перпендикуляре, відновленому з точки А до вектору швидкості vА на відстані ОА = vА / ω (див. Рис 4).
2. Якщо відомі напрямки швидкостей двох точок А і В плоскої фігури (рис. 5а), то миттєвий центр швидкостей буде перебувати на точці Про перетину двох перпендикулярів, відновлених з точок А і В до напрямів їх швидкостей, причому
vА / Vв = (ωОА) / (ωОВ) = ОА / ОВ,
т. е. швидкості точок плоскої фігури прямо пропорційні їх відстаням від миттєвого центру швидкостей.
3. Якщо відомо, що швидкості двох точок А і В плоскої фігури паралельні один одному, спрямовані в одну сторону, перпендикулярні відрізку АВ і по модулю не рівні (рис. 5б), то миттєвий центр швидкостей Про перебуватиме в точці перетину прямої, що з'єднує початку векторів vА і V ст з прямою, що з'єднує кінці цих векторів.
Якщо вектори швидкостей А і В рівні між собою, то миттєвий центр швидкостей в даний момент часу знаходиться в нескінченності, миттєва кутова швидкість ω дорівнює нулю, швидкості всіх точок плоскої фігури будуть однакові і рух буде миттєво поступальним.
4. Якщо швидкості двох точок А і В плоскої фігури паралельні один одному, спрямовані в протилежні сторони і перпендикулярні відрізку АВ (див. Рис. 5в), то миттєвий центр швидкостей Про перебуватиме в точці перетину відрізка АВ з прямою, що з'єднує кінці векторів vА і V ст.
5. Якщо плоска фігура котиться без ковзання по нерухомій кривій, миттєвий центр швидкостей Про перебуватиме в точці дотику фігури з кривою, так як швидкість цієї точки фігури відносно кривої дорівнює нулю (ковзання відсутня).
На рис. 6 наведені положення миттєвого центру швидкостей (МЦС) і графіки швидкостей точок вертикального діаметра колеса при різних випадках його кочення за прямолінійним рельсу (ковзання, кочення, буксування та т. П.).
***
Розкладання плоскопараллельного руху на обертальний і поступальний
В основі цього методу лежить наступна теорема: всяке плоскопараллельное переміщення твердого тіла може бути отримано за допомогою одного обертального і одного поступального руху.
Нехай за час Δt відрізок АВ, який визначає плоскопараллельное рух тіла, перемістився в положення А1В1. Припустимо, що відрізок АВ спочатку переміщався тільки поступально, причому всі його точки рухалися однаково, як, наприклад, точка А. Таким чином, відрізок перемістився в положення А1В2, після чого його можна перемістити в положення А1В1 за допомогою тільки обертального руху навколо точки А1.
Очевидно, що складне плоскопараллельное рух складається з двох простих рухів - поступального і обертального, причому можна вважати, що ці рухи відбуваються одночасно.
Встановимо залежність між векторами швидкостей точок А і В. Для цього з'єднаємо прямими точки А, А1 і В, В1, в результаті чого отримаємо наступну залежність між векторами переміщень точки В:
ВВ1 = ВВ2 + В2В1.
Так як ВВ2 = АА1, то можна записати, що ВВ1 = АА1 + В2В1.
Розділимо всі члени рівності на Δt і перейдемо до межі при Δt прагне до нуля:
lim (ВВ1) / Δt = lim (АА1τ) / Δt + lim (В2В1) / Δt, звідки отримаємо: V ст = vА + vВА,
де vА і VВ - вектори абсолютних швидкостей відповідних точок, vВА - вектор швидкості точки В у відносному обертальному русі відрізка АВ навколо точки А, спрямований перпендикулярно відрізку АВ.
Таким чином, плоскопараллельное рух тіла може здійснюватися шляхом одночасно відбуваються обертального і поступального рухів; поступальний рух можна вважати переносним, а обертальний - відносним.
Вектор абсолютної швидкості довільної точки В дорівнює вектору абсолютної швидкості будь-якої іншої точки А плюс вектор швидкості точки В у відносному обертальному русі відрізка АВ навколо точки А.
Точку, навколо якої відбувається відносне обертальний рух, називають полюсом.
Якщо за полюс замість точки А прийняти точку В, то, розмірковуючи аналогічно, отримаємо:
vА = V ст + vВА.
Якщо порівняти це векторне рівність з попереднім, стає очевидним, що вектори відносних швидкостей vВА і VАВ по модулю рівні між собою, т. Е. VВА = VАВ.
З рис. 7 видно, що напрямок відносного обертання і кут повороту відрізка АВ за якийсь проміжок часу не залежить від вибору полюса, т. Е. ΦВА = φАВ.
Продифференцировав це рівність за часом, отримаємо:
dφВА / dt = dφАВ / dt або ωВА = ωАВ.
Отже, відносна кутова швидкість від вибору полюса не залежить. Аналогічний висновок можна зробити і про відносне кутовому прискоренні:
dωBA / dt = dωAB / dt або αВА = αАВ.
На підставі вищевикладеного можна зробити висновок, що при розкладанні плоскопараллельного руху на поступальний і обертальний поступальна складова руху в загальному випадку залежить від вибору полюса, а обертальна складова від вибору полюса не залежить.
Так як за полюс може бути обрана будь-яка точка площині, в тому числі і миттєвий центр швидкостей, то при розкладанні плоскопараллельного руху на поступальний і обертальний кутова швидкість відносного обертального руху завжди дорівнює абсолютної кутової швидкості.
Якщо векторне рівність vА = V ст + VАВ спроектувати на напрямок прямої АВ, то отримаємо, що проекція vА дорівнює проекції V ст, так як проекція VАВ дорівнює нулю. Отже, при плоскопаралельному русі проекції швидкостей двох точок плоскої фігури на напрям прямої, що з'єднує ці точки, рівні між собою.
***
Дінамаміка матеріальної точки