Интернет журныл о промышленности в Украине

Наукова Мережа >> Механіка твердого тіла. Лекції.

  1. Механіка твердого тіла. Лекції. Кінетична енергія при плоскому русі.
  2. III. Рух аксіально симетричного твердого тіла, закріпленого в центрі мас.
  3. Рівняння Ейлера.

Механіка твердого тіла. Лекції.

Кінетична енергія при плоскому русі.

Кінетична енергія твердого тіла являє собою суму кінетичних енергій окремих частинок:


де де - швидкість центру мас тіла, - швидкість i-й частинки відносно системи координат, пов'язаної з центром мас і здійснює поступальний рух разом з ним - швидкість центру мас тіла, - швидкість i-й частинки відносно системи координат, пов'язаної з центром мас і здійснює поступальний рух разом з ним. Зводячи суму швидкостей в квадрат, отримаємо:


так як так як (Сумарний імпульс частинок в системі центру мас дорівнює нулю) (Сумарний імпульс частинок в системі центру мас дорівнює нулю).

Таким чином, кінетична енергія при плоскому русі дорівнює сумі кінетичних енергій поступального і обертального рухів (теорема Кеніга). Якщо розглядати плоский рух як обертання навколо миттєвої осі, то кінетична енергія тіла є енергія обертального руху.

У зв'язку з цим завдання про скачування циліндра з похилої площини можна вирішити, використовуючи закон збереження механічної енергії (нагадаємо, що сила тертя при коченні без ковзання роботу не робить).

Приріст кінетичної енергії циліндра одно убутку його потенційне енергії:


тут тут - довжина похилій площині, - момент інерції циліндра відносно миттєвої осі обертання - довжина похилій площині, - момент інерції циліндра відносно миттєвої осі обертання.

Оскільки швидкість осі циліндра Оскільки швидкість осі циліндра то то


Диференціюючи обидві частини цього рівняння за часом, отримаємо


звідки для лінійного прискорення звідки для лінійного прискорення осі циліндра будемо мати той самий вираз, що і при чисто динамічному способі рішення (див осі циліндра будемо мати той самий вираз, що і при чисто динамічному способі рішення (див. (3.27, 3.36)).

Зауваження. Якщо циліндр котиться з проскальзиваніем, то зміна його кінетичної енергії буде визначатися також і роботою сил тертя. Остання, на відміну від випадку, коли тіло ковзає по шорсткою поверхні, не обертаючись, визначається, відповідно до (3.14), повним кутом повороту циліндра, а не відстанню, на яке перемістилася його вісь.

III. Рух аксіально симетричного твердого тіла, закріпленого в центрі мас.

Такий рух можна реалізувати за допомогою спеціального пристрою, званого кардановим підвісом (рис. 3.13). Положення тіла в підвісі має бути таким, щоб осі AA ', BB' і CC 'перетиналися в центрі мас. В цьому випадку при будь-яких можливих рухах тіла його центр мас залишається нерухомим. При цьому вісь AA '(в даному випадку - вісь симетрії тіла) може займати довільну орієнтацію в просторі.

Завданням про рух твердого тіла, закріпленого в точці, займалися багато вчених: Л. Ейлер, велика частина життя якого була пов'язана з Петербурзькою Академією Наук, видатні російські вчені Н. Е. Жуковський, С. В. Ковалевська, С. А. Чаплигін , французькі вчені Ж. Лагранж, С. Пуассон, Л. Пуансо. Виявилося, що в загальному випадку ця задача аналітично нерозв'язна. Навіть в найпростішому випадку руху твердого тіла тільки під дією сили тяжіння точне рішення існує лише в особливих приватних випадках. Один з цих випадків, коли однорідне тіло обертання закріплено в центрі мас, ми розглянемо в цій лекції, інший, що має відношення до руху гіроскопа, - в лекції 4 .

Рівняння Ейлера.

Розглянемо однорідне аксіально симетричним тілом обертання, закріплене в центрі мас О (рис. 3.14). Центральний еліпсоїд інерції такого тіла є еліпсоїдом обертання з віссю симетрії Oz.

Система координат x0y0z0 на рис. 3.14 - лабораторна, система xyz жорстко пов'язана з тілом, причому осі Ox, Oy і Oz - головні центральні осі інерції тіла. Оскільки це тіло обертання, то головні осьові моменти інерції Система координат x0y0z0 на рис і рівні між собою:

Сумарний момент сил ваги щодо точки закріплення (центру мас) дорівнює нулю, інших сил, крім сил тяжіння, немає, тому рівняння моментів (3.2) має вигляд


звідки


тобто момент імпульсу розкрученого і був наданий самому собі тіла залишається постійним за величиною і напрямком.

Зауваження. Якщо досліджуване тіло - куля, то Зауваження і центральний еліпсоїд інерції трансформується в сферу. Це означає. що будь-яка центральна вісь обертання є головною віссю інерції кулі, тобто має місце просте співвідношення де - момент інерції відносно центральної осі, і при отримуємо Вісь обертання збігається за напрямком з L і зберігає свою орієнтацію в просторі.

Тепер припустимо, що Тепер припустимо, що відмінно від і як, наприклад, на рис відмінно від і як, наприклад, на рис. 3.14. В цьому випадку чисте обертання має місце тільки тоді, коли вісь обертання або збігається з віссю симетрії тіла, або перпендикулярна до неї.

Загальний випадок складніший; зазвичай його розглядають за допомогою диференціальних рівнянь Ейлера . Справа полягає в тому, що якщо в рівнянні (3.42) вектор L спроектувати на осі лабораторної системи x0y0z0, то скалярні диференціальні рівняння руху будуть досить складними, оскільки моменти інерції щодо нерухомих осей будуть функціями часу. Тому набагато зручніше розглядати L, в проекціях на осі системи xyz, жорстко пов'язаної з твердим тілом.

Нехай i, j, k - одиничні орти системи xyz, жорстко пов'язаної з твердим тілом (рис. 3.14). Тоді (3.42) набирає вигляду


де не тільки проекції де не тільки проекції але і поодинокі орт i, j, k є функціями часу але і поодинокі орт i, j, k є функціями часу. Тому з (3.44) слід


Тут використаний символ Тут використаний символ щоб підкреслити, що розглядаються зміни в часі проекцій і щодо рухомої системи xyz - системи, яка, в свою чергу, повертається разом з тілом з миттєвою кутовою швидкістю щоб підкреслити, що розглядаються зміни в часі проекцій і щодо рухомої системи xyz - системи, яка, в свою чергу, повертається разом з тілом з миттєвою кутовою швидкістю

Що стосується похідних за часом від одиничних ортов i, j, k, то їх зміни в часі обумовлені тільки обертанням системи xyz з кутовий швидкістю Що стосується похідних за часом від одиничних ортов i, j, k, то їх зміни в часі обумовлені тільки обертанням системи xyz з кутовий швидкістю тому тому


(Див. Рис. 3.15). Підставляючи ці вирази в (3.45), отримаємо:


перетворення


знаходиться в повній аналогії з перетворенням швидкості при переході від нерухомої до обертається системі координат. Істотно, що спостерігач, що знаходиться в системі xyz, фіксує тільки відносну зміну L (член знаходиться в повній аналогії з перетворенням швидкості при переході від нерухомої до обертається системі координат ) .Для спостерігача в лабораторній системі до відносного зміни L додається його "переносне" зміна, пов'язане з обертанням системи xyz з миттєвою кутовою швидкістю

назад | вперед


Подивитися коментарі

[3]