Методика проведення 1 уроку
"Закони руху космічних тіл"

Мета уроку: формування поняття про космічному явищі - рух космічних тіл.

Завдання навчання:

Загальноосвітні: формування понять:

- про небесну механіку (про предмет, методи та інструменти небесної механіки, її зв'язки з іншими науками і основні етапи розвитку);
- про космічному явищі - рух космічних тіл в центральному полі тяжіння;
- про закони руху космічних тіл в центральному полі тяжіння (законах Кеплера);
- про траєкторії руху (орбітах) космічних тіл і їх основні характеристики;
- про космічні швидкостях;
- про астрономічну одиницю виміру міжпланетних відстаней.

Виховні: формування наукового світогляду в ході знайомства з історією людського пізнання і пояснення причин небесних явищ, обумовлених рухом космічних тіл; політехнічна і трудове виховання в ході викладу матеріалу про практичні способи застосування знань небесної механіки в космонавтиці.

Розвиваючі: формування умінь розв'язувати задачі на застосування законів руху космічних тіл і формул космічних швидкостей.

Учні повинні знати:

- про небесну механіку (предмет її досліджень, зв'язку з іншими науками, основні етапи історії та вчених, які зробили найбільший внесок у розвиток небесної механіки);
- законидвіженія космічних тіл в центральних полях тяжіння Кеплера;
- освязі між формою орбіти і швидкістю руху космічних тіл;
- астрономічні величини: форми орбіт космічних тіл; значення I, II, III космічних швидкостей (для Землі); значення астрономічної одиниці відстаней.

Учні повинні вміти: вирішувати завдання на застосування законів руху космічних тіл для розрахунку їх орбіт і космічних швидкостей.

Наочні посібники та демонстрації:

Фрагменти діафільмів: "Видимий рух небесних світил"; "Радянські штучні супутники Землі"; "Елементи механіки космічних польотів".
Фрагменти фільмів: "Петля Марса"; "Всесвітнє тяжіння"; "Успіхи СРСР в освоєнні космосу"; "Космічні польоти"; "Планетная система"; "Рух комети навколо Сонця".
Таблиці: "Сонячна система"; "Космічні польоти".
Прилади й інструменти: демонстраційна модель планетної системи; прилад для демонстрації руху ШСЗ.

Завдання додому:

1) Вивчити матеріалу підручників:
- Б.А. Воронцов-Вельямінова: §§ 11, 13 (1, 2); вправи: 8 (1-3).
- Е.П. Левітана: § 9 (2); питання-завдання.
- А.В. Засува, Е.В. Кононовича: § 9, 10, 11 (1); вправи 9.4 (2, 3), 9.5 (2, 4)

2) Виконати завдання зі збірки завдань Воронцова-Вельямінова Б.А. [ 28 ]: 158; 171; 172.

план уроку

етапи уроку

зміст

методи викладу

Час, хв

1

Актуалізація теми заняття

Фронтальне опитування, бесіда

3-5

2

Повторення матеріалу про закон Всесвітнього тяжіння і історії його відкриття

Бесіда, лекція

7-10

3

Формування понять про рух космічних тіл і законах Кеплера

лекція

10-12

4

Формування понять про космічних швидкостях

лекція

7-10

5

Вирішення задач

Робота біля дошки, самостійне рішення задач в зошиті

10-12

6

Узагальнення пройденого матеріалу, підведення підсумків уроку, домашнє завдання

3

Методика викладу матеріалу

1. На початку уроку слід актуалізувати тему заняття. В ході бесіди, що виростала з фронтального опитування про основні розділи астрономії, основні етапи її розвитку, зв'язку астрономії з іншими науками, учням розповідається про небесної механіки, її предмет, методи та інструменти досліджень, історії виникнення і розвитку небесної механіки і її зв'язку з іншими науками (фізикою та математикою). Матеріал, що викладає базується на раніше вивчених відомостях і параграфі "Історія астрономії".

Слід пояснити учням, основна відмінність нового розділу астрономії - небесної механіки - від астрометрії. Раніше вони вивчали видимі небесні явища і лише описово їх причини - космічні явища. Тепер у вивченні курсу астрономії настає новий етап, пов'язаний з переходом до докладного розгляду фізичної природи самих космічних явищ.

Основою проблемної ситуації стає необхідність з'ясування законів руху космічних тіл для пояснення властивостей і характеристик відомих небесних явищ. Що ми повинні для цього знати? - запитуємо школярів і вони визначають коло необхідних знань з астрономії, фізики і математики (у разі утруднення вчитель допомагає їм навідними питаннями). Повторюється, актуалізується раніше пройдений астрономічний матеріал про зміни і видимому русі планет, структуру Сонячної системи; основні закони і поняття кінематики (пов'язані з описом обертального руху тіл) і динаміки (закони Ньютона).

2. Формування понять про закони руху космічних тіл - законах Кеплера можна здійснити різними варіантами в кілька етапів:

I варіант - для "слабких" або "звичайних" класів і класів з хіміко-біологічної або гуманітарної орієнтацією:

1. Виклад історії відкриття законів Кеплера і Всесвітнього тяжіння.

2. Висновок законів Кеплера "авторським способом", спрощеним і адаптованим до сприйняття сучасних учнів. Визначення законів Кеплера в "історично первозданному" вигляді з застереженням їх емпіричного характеру: підкреслюється, що І. Кеплер лише описав характер руху планет, але не пояснив його причин.

Закони Кеплера формулюються в гранично спрощеній формі:

I. Всі планети Сонячної системи обертаються навколо Сонця по еліптичних орбітах, в одному з фокусів яких знаходиться Сонце.

II. Радіус-вектор планети за однакові проміжки часу описує рівні площі: швидкість руху планет максимальна в перигелії і мінімальна в афелії.

III. Квадрати періодів обертання планет навколо Сонця співвідносяться між собою, як куби їх середніх відстаней від Сонця:

3. Виклад історії відкриття закону Всесвітнього тяжіння із законів Кеплера і законів механіки (з виведенням або без нього).

Спрощений висновок закону Всесвітнього тяжіння описаний в підручнику фізики для X класів фізико-математичних шкіл під редакцією А.А. Пінського [ 49 , С. 22]:

Якщо планети рухаються по майже кругових орбітах, їх доцентрові прискорення рівні: (1), де Т - період обертання планети навколо Сонця, R - радіус орбіти планети. З III закону Кеплера або (2). Отже, прискорення будь-якої планети незалежно від її маси обернено пропорційно квадрату радіусу її орбіти: (3).

Згідно II закону Ньютона, сила F, що повідомляє планеті це прискорення, дорівнює: (4): сила, що діє на будь-яку планету, прямо пропорційна масі планети і обернено пропорційна квадрату відстані від неї до Сонця.

Згідно III закону Ньютона, сила F ¢, діюча на планету з боку Сонця, дорівнює їй за модулем, протилежна за напрямком і дорівнює: (5), де М - маса Сонця.

Оскільки F = F ¢, = . позначимо (6), де G - постійна величина. тоді (7) і вираз (4) можна записати у вигляді відомої нам формули закону Всесвітнього тяжіння: (8): Сила тяжіння між Сонцем і планетою пропорційна добутку їх мас і обернено пропорційна квадрату відстані між ними.

4. Сучасна формулювання законів руху космічних тіл в центральному полі тяжіння і визначення понять, пов'язаних з описом руху космічних тіл і характеристиками орбіт ( см .).

II варіант для "сильних" і фізико-математичних класів:

1. Виклад історії відкриття законів Кеплера і закону Всесвітнього тяжіння. Визначення законів Кеплера і закону Всесвітнього тяжіння.

2. Висновок законів Кеплера на основі закону Всесвітнього тяжіння і законів механіки.

Мал. 58 Закони Кеплера

Ріс.59 Другий закон Кеплера

А.І. Фетисов пропонує якісний висновок I і II законів Кеплера, що повторює міркування автора відкриття:

Кеплеру були відомі: координати планети (Марса) на небесній сфері з точністю до 2 ¢ за даними спостережень Т. Бразі; відносні відстані планет від Сонця; синодичні і сидеричні періоди обертання планет. Далі він міг міркувати:

Мал. 60

Відомо положення Марса під час протистояння (рис. 60). У трикутнику АВС буква А позначає положення Марса, В - Землі, С - Сонця. Через проміжок часу, рівний сидеричному періоду обертання Марса (687d) планета повернеться в точку М, а Земля за цей час переміститься в точку В ¢. Оскільки кутові швидкості руху Землі протягом року відомі (вони дорівнюють кутовим швидкостям видимого руху Сонця по екліптиці), можна обчислити кут АСВ ¢. Визначивши координати Марса і Сонця в момент проходження Землею через точку В ¢, ми можемо, знаючи в трикутнику 2 кута, по теоремі синусів розрахувати відношення боку СВ ¢ до АС. Ще через один оборот Марса Земля прийде в положення В "і можна буде визначити ставлення СВ" до того ж відрізку АС і т.д. Таким чином, точка за точкою можна отримати уявлення про справжню формі орбіти Землі, встановить, що вона є еліпсом, в фокусі якого знаходиться Сонце (I закон Кеплера); що в найближчій до Сонця точці своєї орбіти Земля рухається найшвидше, а в самій далекій - найбільш повільно (II закон Кеплера).

Більш складний (але і більш докладний, кількісний) висновок законів Кеплера можна здійснити відповідно до методики Ю.І. Соколовського [ 271 ]. Виклад матеріалу зручніше починати з виведення II закону Кеплера як наочно-геометричного тлумачення закону збереження моменту імпульсу.

Сила гравітаційного тяжіння планети Сонцем спрямована до її центру, її момент відносно будь-якої осі, що проходить через центр, дорівнює нулю. Момент імпульсу планети N залишається незмінним:

N = m × u ^ × r = m × u × h = const, де m - маса планети, r - відстань від Сонця, u - швидкість планети; u ^ - складова цієї швидкості, перпендикулярна напряму на Сонце; h - довжина перпендикуляра, опущеного з центра Сонця на вектор швидкості або його продовження. При незмінній масі планети з збереження моменту імпульсу слід сталість твори моменту швидкості u × h: u × h = N / m = const. Нехай u × h = n.

Мал. 61

За проміжок часу D t планета переміщається уздовж орбіти на відстань ВС = u × D t. Радіус-вектор ОВ як би "ометаемую" сектор орбіти ВОС - трикутник з кілька викривленим підставою ВС = u × D t і висотою h. Його площа: . Отже, ставлення для даної орбіти постійно. Воно характеризує швидкість "ометанія" площі, чисельно дорівнює площі сектора, "ометаемую" радіус-вектором за одиницю часу і називається секторальної швидкістю (рис. 61).

Для обчислення площі S, "захоплюваної" за проміжок часу t, розіб'ємо його на елементарні проміжки D t1, D t2, D t3 ... Тоді: , Звідки слід формулювання II закону Кеплера: "За будь-які рівні проміжки часу радіус-вектор планети" ометаемую "рівні площі".

Учням нагадують визначення еліпса і спосіб його практичного побудови.

Еліпс - крива II порядку, для будь-якої точки якої сума відстаней від двох точок, які називаються фокусами еліпса, постійна ( Мал. 58 ). Ступінь витягнутості еліпса характеризується ексцентриситетом е, , Де a і b - півосі еліптичної орбіти. При збігу фокусів з центром (е = 0) еліпс перетворюється в коло; при е = 1 стає параболою; при е> 1 - гіперболою.

Висновок I закону Кеплера: Рух планет зручно описувати в полярній системі координат, початок якої Про поєднане з Сонцем: стан планети визначається полярним відстанню r і полярним кутом j ( Мал. 58 ). Розглянемо орбіти з однаковими моментом швидкості n і секторальної швидкістю 0,5 n. При русі по будь-якій з них планета перетне сектор ВОС з кутом D j при вершині і площею D S = 0,5 r2 × D j за час: (1) Прискорення планети а ц визначається тяжінням Сонця; за законом Всесвітнього тяжіння: (2). З (1), (2) визначається модуль зміни вектора швидкості планети за час перетину даного сектора: . Модуль зміни вектора швидкості визначається моментом швидкості n і кутом D j при вершині сектора і не залежить від відстані планети від Сонця, тому що ослаблення гравітації з віддаленням від Сонця компенсується збільшенням тривалості її впливу.

Нехай радіус кругової орбіти r до, а модуль лінійної швидкості планети u к. Вектор цієї швидкості змінюється при русі тільки по напрямку, залишаючись перпендикулярним радіусу, так що момент швидкості n = r до Uк. Радіус орбіти визначається, ототожнюючи прискорення планети з доцентрові прискоренням: , але (3) Þ (4) і . При русі планети з тим же моментом швидкості з якоїсь іншої орбіті вектор її лінійної швидкості буде іншим, але змінюватися при проходженні сектора з кутом D j буде на ту ж величину D` u, що і при русі по колу. Значить, вектори `u і` u кмогут відрізнятися один від одного тільки на постійне по модулю і по напрямку векторне доданок u: `u =` u до + `u. Направимо полярну вісь ОР перпендикулярно вектору u так, щоб в точці Р вектори `u до і` u збігалися у напрямку. У довільному положенні планети її лінійна швидкість `u геометрично складається з швидкості` u до і постійного вектора `u .Момент швидкості дорівнює сумі моментів її складових: n = r × u до + r × u × cos j Þ

або (5), де і - постійні величини.

Вираз (5) повністю визначає форму орбіти. При e <1 воно являє собою рівняння еліпса з фокальним параметром р і ексцентриситетом e, один з фокусів якого збігається з центром координат - центром Сонця. При e = 1 рівняння (5) описує параболу; при e> 1 - гіперболу. Формулюємо I закону Кеплера: "Планетні тіла рухаються по орбітах, які представляють собою криві II порядку, в одному з фокусів яких знаходиться центр мас системи".

При j = 0 відстань планети від Сонця мінімально і одно ; в цій точці перигелію швидкість планети максимальна і дорівнює `u до +` u. При j = p, в афелії, модуль швидкості має мінімальне значення `u до -` u. При j = ± p / 2 відстань від Сонця дорівнює р, ніж розкривається геометричний сенс фокального параметра. При e = 0 відстань від Сонця дорівнює р при будь-якому j, тобто планета рухається по колу. Це має місце і при u = 0, тобто при початковій і незмінною по модулю швидкості планети u = u до + u = u к. Т.ч. параметр р є радіус кругової орбіти з даними моментом імпульсу, а швидкість u до - кругова або I космічна швидкість на відстані r до = р від Сонця.

Ріс.62

Орбіта має параболічну форму при e = 1, u = u к. В відповідність з (5) при e = 1 і j = 0 перигелій параболічної орбіти знаходиться на відстані р / 2 від Сонця. Щоб тіло рухалося по параболі, треба повідомити йому в перигелії початкову швидкість: u = u до + u = u до + u к = 2 u до - параболічну або II космічну. Кругова (I космічна) швидкість в цій точці дорівнює . Т. к. Через u до була позначена кругова швидкість для вдвічі більшого віддалення від Сонця r к = p, а по (4) значення кругової швидкості обернено пропорційно , Параболічна u П швидкість дорівнює , Тобто в разів перевищує кругову для тієї ж точки.

Висновок III закону Кеплера: Завдяки постійності секторальної швидкості період обертання планети Т визначається діленням "захоплюваної" за 1 оборот площі еліпса S на секторальну швидкість n / 2. Оскільки площа еліпса S = p × a × b, де a і b - велика і мала півосі.

(6). Оскільки для еліпса b 2 = p × a, (7). З огляду на, що p = r до і (4), отримаємо . Тоді формула (7) запишеться: .

У цьому виразі - величина постійна ( однакова для всіх планет Сонячної системи), тому для будь-яких двох її планет: Формулюємо III закон Кеплера: "Квадрати періодів обертання двох планет співвідносяться як куби великих піввісь їх орбіт".

У посібнику [ 167 ?] Пропонується наступний висновок уточненого III закону Кеплера для кругового руху:

Відповідно до закону Всесвітнього тяжіння, прискорення двох взаємно притягуються і обертаються навколо загального центру мас космічних тіл рівні: , (1), де M і m - маси тіл, R - відстань між їх центрами.

Кутова швидкість їх обертання навколо центру мас дорівнює , Де Т - період обертання. Тоді доцентровийприскорення тел: , (2), де r 1 і r 2 - відстані тел від центру мас системи.

Прирівнюючи вирази (1) і (2), отримаємо: , (3).

Складаючи почленно вираження (3), отримаємо: Þ (4).

У правій частині виразу (4) перебувають лише постійні величини, звідки слід його справедливість для будь-якої системи двох гравітаційно взаємодіючих тіл. Для двох космічних систем цей вислів запишеться у вигляді уточненого III закону Кеплера:

Þ

3. Повна формулювання законів руху космічних тіл в центральному полі тяжіння і визначення понять, пов'язаних з описом руху космічних тіл і характеристиками орбіт:

Мал. 63. Елементи орбіт

Основні характеристики руху космічного тіла в межах Сонячної системи - називаються елементами орбіти і визначаються щодо площини екліптики (рис. 63).

Кут i між площиною орбіти і екліптикою називається її нахилом: при 0 њ £ i <90 њ космічне тіло рухається навколо Сонця в прямому напрямку (як Земля); при 90 њ £ i <180 њ - в зворотному напрямку.

Точки, в яких орбіта космічного тіла перетинається з площиною екліптики, називаються вузлами егоорбіти: висхідним вузлом в напрямку північного полюса екліптики і низхідним вузлом в напрямку південного полюса екліптики.

Кут b між центром Сонця, що сходить вузлом орбіти і точкою весняного рівнодення називається геліоцентричної довготою висхідного вузла і разом з нахилом визначає просторове положення площини орбіти космічного тіла.

Кут w між центром Сонця, що сходить вузлом орбіти і точку перигелію називається кутовим відстанню перигелію від вузла, відраховується в площині орбіти в напрямку руху космічного тіла і визначає положення орбіти в її площині.

Момент проходження перигелію t 0 визначає положення космічного тіла на орбіті в даний час.

Велика піввісь орбіти а є середнім відстанню космічного тіла від Сонця і визначає розміри його орбіти: , де r 1 - відстань космічного тіла від Сонця в перигелії, r 2 - в афелії.

Велика піввісь земної орбіти прийнята за астрономічну одиницю відстаней: а Å = 1 а. е. = 149000000000 м.

Ухвалою положень об'єктів Сонячної системи на небесній сфері за елементами їх орбіт (обчисленням ефемерид космічних тіл) і визначенням елементів орбіт космічних тіл на основі спостережень їх видимого руху займається теоретична астрономія.

Для визначення характеристик орбіти космічного тіла необхідно провести не менше 3 вимірювань екваторіальних координат світила на небесній сфері (точність обчислень підвищується при збільшенні кількості спостережень). На основі даних спостережень складається система з 6 рівнянь, кожне з яких містить відомі екваторіальні координати світила і в якості невідомої величини - один з елементів орбіти космічного тіла. Класичний спосіб вирішення завдання був метод "найменших квадратів"; в даний час для розрахунків широко застосовуються ЕОМ.

I закон Кеплера:

Траєкторії руху небесних тіл в центральному полі тяжіння є конічний перетин (криву II порядку): еліпс, коло, параболу або гіперболу, в одному з фокусів якої знаходиться центр мас системи.

орбіти планет Сонячної системи мають форму еліпса, в одному з фокусів якого знаходиться Сонце. Маса Сонця в 750 разів більша за масу всіх інших тіл Сонячної системи, тому центр мас Сонячної системи знаходиться всередині Сонця, майже збігаючись з його геометричним центром. Еліптичні орбіти мають супутники планет, в тому числі ШСЗ, астероїди і частина комет. Ексцентриситет е планетних орбіт дуже малий (е Å = 0,017). Ексцентриситети орбіт астероїдів значно більше, багато комет мають параболічні і гіперболічні орбіти.

Перицентра називається найближча до центру мас системи точка орбіти небесного тіла; апоцентром - найбільш віддалена. Для орбіт небесних тіл, що обертаються навколо Сонця, вони будуть відповідно називатися перигелієм і афелием; для орбіт тіл, що обертаються навколо Землі - перигеем і апогеєм і т. д.

Ріс.64 Космічні швидкості. залежність
форми орбіти від швидкості небесного тіла

Орбіта небесного тіла залежить від його швидкості в даній точці простору (рис. 64).

I космічна швидкість є швидкістю кругового руху: .

Для ШСЗ, що запускаються на навколоземні низькі орбіти (h = 200 км), u I = 7,78 км / с.

II космічна швидкість - швидкість параболічного руху: .

Для стартують з Землі автоматичних міжпланетних станцій u II = 11,02 км / с.

При u I <u <u II тіло рухається по еліптичній орбіті. При u <u I тіло також рухається по еліптичній орбіті, яка за винятком точки апоцентра цілком лежатиме всередині кругової орбіти. Такі траєкторії польоту земних космічних літальних апаратів (КЛА) називаються балістичними. Період обертання небесних тіл навколо центру мас можна визначити за формулою: .

При u> u II траєкторія руху небесного тіла представляє собою гіперболу.

Швидкість, з якою запущений із Землі КЛА покине межі Сонячної системи, називають іноді третьою космічною швидкістю. Вона дорівнює сумі швидкостей руху Землі навколо Сонця і II космічної швидкості КЛА щодо Землі, u III = 42 км / с.

II закон Кеплера:

Пряма, що з'єднує небесне тіло з центром мас, описує рівні площі в рівні проміжки часу, тобто площа, описана радіус-вектором тіла, пропорційна часу, протягом якого вона описана: при t 1 = t 2, S 1 = S 2, u 1 ¹ u 2 (u 1> u 2) (рис. 59)

Так як за один і той же час небесне тіло проходить різні по протяжності ділянки орбіти, його рух буде нерівномірним. Небесні тіла поблизу перицентра мають швидкість більшу, ніж поблизу апоцентра:

III закон Кеплера:

Твір сум мас небесних тіл і їх супутників з квадратами їх сидеричних періодів звернення ставляться як куби великих піввісь їх орбіт:

, Де М 1 і М 2 - маси небесних тіл, m 1 і m 2 - відповідно маси їхніх супутників, а 1 і а 2 - великі півосі їх орбіт, Т 1 і Т 2 - сидеричні періоди обертання.

Учні повинні зрозуміти, що закон Кеплера пов'язує характеристики руху компонентів будь-яких довільних і незалежних космічні систем.

Вивчений матеріал закріплюється в ході вирішення завдань.

Вправа 7:

1. До Землі або до Сонця сильніше притягуються: а) ШСЗ; б) Місяць [Відповідь: FТ ¤ »2,5FТ Å].

2. Чому Сонце не може відірвати Місяць від Землі?

3. Завдання зі статті В.Б. Дроздова [ 55 ]: Яка повинна бути мінімальна швидкість Жюль-Верновский снаряда, щоб він потрапив в Місяць? Яку швидкість він матиме у її поверхні? [Відповідь: 11,1 км / с; 2,3 км / с].

4. Яка тривалість сидерического періоду обертання Юпітера навколо Сонця, якщо він в 5 разів далі від Сонця, ніж Земля? Через які проміжки часу повторюються його протистояння?

5. Визначте періоди обертання ШСЗ, що рухаються по орбітах 1, 2 і 3 навколо Землі на рис. 64. Радіус Землі 6370 км.

6. Яку швидкість повинна мати на старті з поверхні Місяця (Марса) ракета, що доставляє на Землю зразки ґрунту?